如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为矩形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥BC；（Ⅱ）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE；（Ⅲ）若AB=2BC，求直线AC与平面BC

Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为矩形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若AB=2BC，求直线AC与平面BCE所成的角．

Answer 1

（Ⅰ）∵BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BM⊥AE，即AE⊥BM；
又AE⊥BE，BE∩BM=B；
∴AE⊥平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AE⊥BC；
（Ⅱ）取CD中点F，连接MF，NF；
BM⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，∴BM⊥CE，又BE=BC；
∴M是CE的中点；
∴MF∥DE，DE⊂平面ADE，MF⊄平面ADE；
∴MF∥平面ADE，同理，NF∥平面ADE，MF∩NF=F；
∴平面MFN∥平面ADE，MN⊂平面MFN；
∴MN∥平面ADE；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴∠ACE是直线AC和平面BCE所成的角；
设BC=1，则AB=2，AB⊥BC，∴AC=√(5)；
AE⊥BE，BE=1；
∴AE=√(3)；
∴在Rt△ACE中，sin∠ACE=(AE)/(AC)＝(√(3))/(√(5))＝(√(15))/(5)；
∴∠ACE＝acsin(√(15))/(5)．