类比平面几何中的射影定理：若直角三角形ABC中（如图），AB、AC互相垂直，AD是BC边的高，则AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．若在三棱锥A-BCD中（如图），三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，O是点A在平

Question

类比平面几何中的射影定理：若直角三角形ABC中（如图），AB、AC互相垂直，AD是BC边的高，则AB²=BD•BC；AC²=CD•BC．若在三棱锥A-BCD中（如图），三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，O是点A在平面BCD上的投影，则三棱锥的侧面面积与它在底面上的投影面积和底面积的之间满足的关系为___（只需填一个）

Answer 1

结论：S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCD．
证明如下
在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD内的相交直线，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE⊂平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根据题中的已知结论，得AE²=EO•ED
两边都乘以（(1)/(2)BC）²，得（(1)/(2)BC•AE）²=（(1)/(2)BC•EO）•（(1)/(2)BC•ED）
∵AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线
∴S_△ABC=(1)/(2)BC•AE，S_△BC0=(1)/(2)BC•EO，S_△BCD=(1)/(2)BC•ED
∴有S_△ABC²=S_△DBC•S_△BC0．
故答案为：S_△ABC²=S_△DBC•S_△BCO．