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如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.(1)直接写出∠ABC的度数;(2)如图(2),BD是△ABC中∠ABC的平分线.①找出图中所有等腰三角形(等腰三角形ABC除外),并选其中一个写出推理过
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如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.

(1)直接写出∠ABC的度数;
(2)如图(2),BD是△ABC中∠ABC的平分线.
①找出图中所有等腰三角形(等腰三角形ABC除外),并选其中一个写出推理过程;
②在直线BC上是否存在点P,使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形?如果存在,请在图(3)中画出满足条件的所有的点P,并直接写出相应的∠CPD的度数;如果不存在,请说明理由.

(1)直接写出∠ABC的度数;
(2)如图(2),BD是△ABC中∠ABC的平分线.
①找出图中所有等腰三角形(等腰三角形ABC除外),并选其中一个写出推理过程;
②在直线BC上是否存在点P,使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形?如果存在,请在图(3)中画出满足条件的所有的点P,并直接写出相应的∠CPD的度数;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=
=
=72°;
(2)①如图(2),△ADB、△BCD是等腰三角形.
说明△ADB是等腰三角形,理由:
由(1)得:∠ABC=72°,
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=
∠ABC=36°,
又∵∠A=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD,即△ADB是等腰三角形.
说明△BCD是等腰三角形,理由:
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=
(180°-36°)=72°
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=
∠ABC=36°,
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,
∴∠C=∠BDC,
∴BD=BC,即△BCD是等腰三角形.
②存在3个点P,使得△CDP是等腰三角形.

当以∠CDP为顶角,CD为一腰时,∠CPD=72°;
当以∠DCP为顶角,CD为一腰时,存在两点P:
一点在线段BC延长线上,此时∠CPD=36°;
一点在线段BC上,此时∠CPD=
=54°.
∴∠ABC=
| 180°−∠A |
| 2 |
| 180°−36° |
| 2 |
(2)①如图(2),△ADB、△BCD是等腰三角形.
说明△ADB是等腰三角形,理由:
由(1)得:∠ABC=72°,
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=
| 1 |
| 2 |
又∵∠A=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD,即△ADB是等腰三角形.
说明△BCD是等腰三角形,理由:
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=
| 1 |
| 2 |
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=
| 1 |
| 2 |
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,
∴∠C=∠BDC,
∴BD=BC,即△BCD是等腰三角形.
②存在3个点P,使得△CDP是等腰三角形.

当以∠CDP为顶角,CD为一腰时,∠CPD=72°;
当以∠DCP为顶角,CD为一腰时,存在两点P:
一点在线段BC延长线上,此时∠CPD=36°;
一点在线段BC上,此时∠CPD=
| 180°−72° |
| 2 |
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