（3q13•成都二模）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=9q°，AA1=AC=BC=3，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．（Ⅰ）求证：AC1⊥BA1；（Ⅱ）求A-A1B-C的余弦值．

Question

（3q13•成都二模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=9q°，AA₁=AC=BC=3，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥BA₁；
（Ⅱ）求A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取三B中点E，连结DE，则DE∥BC，
∵BC⊥三C，∴DE⊥三C，
∵三_二在底面三BC4的射影恰为三C的中点D，
∴三_二D⊥平面三BC，
∴分别以DE，DC，D三_二所在的直线为x，y，得轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xy得，
则三（l，-二，l），C（l，二，l），B（2，二，l），
三二(l，l，√(c))，C二(l，2，√(c))，

三C二

=（l，c，√(c)），

B三二

=（-2，-二，√(c)），
∵

三C二

•

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（Ⅰ）取AB中点E，连结DE，分别以DE，DC，DA₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，用向量法能证明BA₁⊥AC₁．
（Ⅱ）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

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