几何图形是最富于变化的,直角三角形更是如此,但不管怎样变化,其基本图形体现的规律却是相同的,如射影定理的基本图形.这时,从复杂图形中分离出基本图形,就成为解决问题
思路:从所给图形中分离出基本图形,利用基本图形写出结论.
探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法,有助于快速发现解题思路.这当中的关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形.如:
(1)在图1-4-4(c)中,求证:CF·CA=CG·CB.
(2)在图1-4-4(a)中,求证:FG·BC=CE·BG.
(3)在图1-4-4(d)中,求证:①CD 3 =AF·BG·AB;②BC 2 ∶AC 2 =CF∶FA;
③BC 3 ∶AC 3 =BG∶AE.就可以这样来思考:
图1-4-4
在第(1)题中,观察图形则发现分别使用CD 2 =CF·CA和CD 2 =CG·CB即可得到证明.
第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FG·BC=CE·BG,只需证 ,而这四条线段分别属于△BFG和△BEC,能发现这两个三角形存在公共角∠EBC,可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例,夹角相等”来证明相似.
或者在图1-4-4(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“Rt△ADE中DG⊥BE”及“Rt△BDC中DF⊥BC”,在两个三角形中分别使用射影定理中的BD 2 进行代换,得到BG·BE=BF·BC,化成比例式后,可用“两边对应成比例,夹角相等”来证明含有公共角∠EBC的△BFG和△BEC相似.
你可以尝试着自己分析第(3)小题.
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