一个直角三角形的两条直角边分别长3cm，4cm，则它的内心和外心之间的距离为．

Question

一个直角三角形的两条直角边分别长3cm，4cm，则它的内心和外心之间的距离为________．

Answer 1

如图，E为直角三角形ABC的内心，F为直角三角形ABC的外心，
过E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，过F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，
则ER=ET，∠C=∠ERC=∠ETC=90°，
∴ERCT是正方形，
∴ER=RC=CT=ET，
∵∠FMC=∠C=∠NTC=90°，
∴四边形MCTN是矩形，
∴CT=MN，CM=NT，
∵F为AB中点，FM∥BC，
∴M为AC中点，
∴FM=BC=1.5，MC=AM=2，
设直角三角形ABC的内切圆的半径是r，
则ER=RC=CT=ET，
根据切线长定理得：3-r+4-r=5，
r=1，
即ER=RC=CT=ET=MN=1，
∴MR=2-1=1，
在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5-1=0.5，由勾股定理得：EF==，
故答案为：．