如图，圆O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，G为弧EF上的一点，请判断∠EGF与∠BOC是否相等，并说明理由．

Question

如图，圆O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，G为弧EF上的一点，请判断∠EGF与∠BOC是否相等，并说明理由．

Answer 1

∠EGF=∠BOC，
理由：连接OD、ED、DF
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD=BF，∠OBF=∠OBD，
∴OB⊥DF，
∴∠BDF=90°-∠OBD，
∵BD切⊙O于点D，OD是⊙O半径，
∴OD⊥BC，
∴∠BOD=90°-∠OBD，
∴∠BOD=∠BDF，
同理可得：∠COD=∠CDE，
即∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BDF+∠CDE，
∵∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
∴∠BOC+∠EDF=180°，
∵D、E、G、F四点共圆，
∴∠EGF+∠EDF=180°，
∴∠EGF=∠BOC．