如图，在△ABC中，∠A=m°．（1）如图①，当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图②，当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图③，当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

Question

如图，在△ABC中，∠A=m°．
（1）如图①，当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图②，当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图③，当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

Answer 1

（1）∵O为△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=(1)/(2)ABC，∠ACO=∠OCB=(1)/(2)∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m°，
∴(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=90°-(1)/(2)m°，
即∠OBC+∠OCB=90°-(1)/(2)m°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+(1)/(2)m°；

（2）∵点O为△ABC的外心，
∴由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=2m°；

（3）连接AO，并延长与BC边相交于点F，则AF⊥BC，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD=∠ACE=90°-∠BAC=90°-m°，
∴∠BOC=∠BOF+∠COF=∠BAF+∠ABD+∠CAF+∠ACE=∠ABD+∠BAC+∠ACE=2×（90°-m°）+m°=180°-m°．