已知等腰三角形ABC,∠C=90°,点B（-7,3）,C（-3,0）,点A在x轴上方.求：1、直线AC的方程及A点的坐标、△ABC的外心M的坐标

Question

已知等腰三角形ABC,∠C=90°,点B（-7,3）,C（-3,0）,点A在x轴上方.求：1、直线AC的方程及A点的坐标
、△ABC的外心M的坐标

Answer 1

（1）设点A的坐标为（X,Y）,
则 IBCI=根号[（--7+3)^2+(3--0)^2]
=5,
IACI=根号[（X+3)^2+(Y--0)^2],
因为 等腰三角形ABC中,角C=90度,
所以 IACI=IBCI,
所以 （X+3)^2+Y^2=25,（1）
直线BC的斜率K1=（--7+3）/（3--0）=--4/3.
直线AC的斜率K2=Y--0）/（X+3）=Y/（X+3）,
因为 角C=90度,
所以 AC与BC互相垂直,
所以 K1*K2=--1,
所以 K2=3/4,
即：Y/（X+3）=3/4,
X+3=4Y/3 （2）
由（1）（2）可求得：
X=1,Y=3（因为点A在X轴上方,所以Y=--3,X=--7已舍去）
所以 AC的直线方程为：Y--3=3/4（X--1）
即：3X--4Y+9=0,
点A的坐标是：A（1,3）.
（2）设三角形ABC的外心M的坐标为M（X,Y）
则 IAMI=IBMI=ICMI
因为 IAMI^2=(x--1)^2+(y--3)^2,
IBMI^2=(x+7)^2+(y--3)^2,
ICMI^2=(x+3)^2+(y--0)^2,
所以 (x--1)^2+(y--3)^2=(x+7)^2+(y--3)^2=(x+3)^2+y^2
由此可求得：X=--3,Y=25/6,
所以 M的坐标是：M（--3,25/6）.