△ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

Question

△ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

Answer 1

以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．
设G点坐标为（x，y），
∵重心分中线比为2：1
∴|GC|+|GB|=30×(2)/(3)=20，
根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．
因a=10，c=8，有b=6，故其方程为(x2)/(100)+(y2)/(36)=1（y≠0）
设A点坐标为（u，v）
则x=(u)/(3)，y=(v)/(3)，把（3u，3v）代入G的方程得(u2)/(900)+(v2)/(324)=1（v≠0）
故顶点A的轨迹为得(x2)/(900)+(y2)/(324)=1（y≠0）