三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若（1）三条侧棱与底面所成的角相等，（2）三条侧棱两两垂直，（3）三个侧面与底面所成的角相等；则点O中依次为垂心、内心、

Question

三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若
（1）三条侧棱与底面所成的角相等，
（2）三条侧棱两两垂直，
（3）三个侧面与底面所成的角相等；
则点O中依次为垂心、内心、外心的条件分别是（　　）

A、（1）（2）（3）

B、（3）（2）（1）

C、（2）（1）（3）

D、（2）（3）（1）

Answer 1

考点：
三角形五心
专题：
空间位置关系与距离
分析：
三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，若三条侧棱与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；若三条侧棱两两垂直，则O是△ABC是垂心；若三个侧面与底面所成的角相等，则O是△ABC的内心．

三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，（1）若三条侧棱与底面所成的角相等，则△POA≌△POB≌△POC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）若三条侧棱两两垂直，则PA、PB、PC两两垂直，连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，∵AP⊥BP⊥CP，BP∩CP=P，∴AP⊥平面BCP，∵BC∈平面BCP，∴AP⊥BC，∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，∴BC⊥OP，∵AP∩OP=P，∴BC⊥平面PAD，∵AD∈平面PAD，∴BC⊥AD，同理AC⊥BE，∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，∴O是两高的交点，∴O是△ABC是垂心．（3）若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面△的斜高，由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，∠PDO=∠PEO=∠PFO，∵OD=OP?cot∠PDO，OE=OP?cot∠PEO，OF=OP?cot∠PFO，∴OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．故选：D．
点评：
本题考查三角形的垂心、内心、外心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理的合理运用．