已知锐角三角形△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,在EF,FD,DE的延长线上分别取点P,Q,R,若AP=BQ=CR,证明△的外心为△ABC的垂心（注意无图）

Question

已知锐角三角形△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,在EF,FD,DE的延长线上分别取点P,Q,R,若AP=BQ=CR,证明△的外心为△ABC的垂心 （注意无图）

Answer 1

证明:
设△ABC的三条高分别为AL、BM、CN,
垂心为H,
EF与AL交于点K,
则:
AP^2=PK^2+AK^2
=PH^2-KH^2+AK^2
=PH^2+(AK+KH)(AK-KH)
=PH^2+AH*HL.
同理可得,
BQ^2=QH^2+BH*HM,
CR^2=RH^2+CH*HN.
∵AP=BQ=CR,
且AH*HL=BH*HM=CH*HN,
∴PH=OH=RH,
故H为△PQR的垂心.
注:无论H在KL上还是在AK上,均有
(AK+KH)(AK-KH)=AH*HL.