三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足OA+OB+OC＝.0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（）A．12B．36C．48D．24

Question

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足

OA

+

OB

+

OC

＝

.

0

，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（　　）

A．12
B．36
C．48
D．24

Answer 1

如图，∵O是P在平面ABC内的射影，且满足

OA

+

OB

+

OC

＝

.

0

，
∴O为三角形ABC的重心，连接AO并延长交BC于D，连接BO并延长交AC于F，则D、F分别为BC和AC的中点，
∵AH⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥BC，
∵H为三角形PBC的垂心，∴PH⊥BC，又∵PH∩AH=H，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC，
又∵PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO，BC⊥AD．
D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB=AC．
∵CH⊥PB，AH⊥PB，AH∩CH=H，∴PB⊥面AHC，∴PB⊥AC，
又∵PO⊥AC，PO∩PB=P，∴AC⊥平面PBO，
∴AC⊥BO，AC⊥BF，
又∵F为AC的中点，∴AB=BC，∴三角形ABC为等边三角形．
设三角形ABC的边长为x，则AD=(√(3)x)/(2)，AO=(2)/(3)AD＝(2)/(3)×(√(3)x)/(2)＝(√(3)x)/(3)，又PA=6，
∴PO=√(PA2−AO2)＝√(36−(x2)/(3))
∴VP−ABC＝(1)/(3)×(1)/(2)x•(√(3)x)/(2)•√(36−(x2)/(3))=(√(3))/(12)√(x2•x2(36−(x2)/(3)))=(√(3))/(12)√(36•(x2)/(6)•(x2)/(6)(36−(x2)/(3)))≤(√(3))/(2)√((((x2)/(6)+(x2)/(6)+36−(x2)/(3))/(3))3)=36．
当且仅当(x2)/(6)＝36−(x2)/(3)，即x=6√(2)时“=”成立．
故选B．