三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC上的射影O为ABC重心,A点三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC上的射影O为ABC重心,A点在侧面PBC上的射影H是PBC的垂心,PA=6,则三棱锥P-ABC体积最大值为多少

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三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC上的射影O为ABC重心,A点
三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC上的射影O为ABC重心,A点在侧面PBC上的射影H是PBC的垂心,PA=6,则三棱锥P-ABC体积最大值为多少

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答案和解析

∵向量OA+向量OB+向量OC=0∴O为⊿ABC的重心又A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心∴PH⊥BC而PA在侧面PBC上的射影为PH∴PA⊥BC又PA在面ABC上的射影为PO∴AO⊥BC同理可得CO⊥AB∴O是△ABC的垂心.∵⊿ABC的重心与垂心重合∴⊿ABC为等边三角形即三棱锥P-ABC为正三棱锥.设AB=x,则AO=x/√3∴PO=√(36-x²/3)∴V=1/3×3x²/4×√(36-x²/3)故x=6√2时,f(x)取得最大值36.

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