已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证：（1）点A在面BCD上的射影H为△BCD的垂心（2）AD⊥BC

Question

已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证：
（1）点A在面BCD上的射影H为△BCD的垂心
（2）AD⊥BC

Answer 1

证明：
1.过A作AH⊥平面BCD于H,则AH⊥CD
又∵AB⊥CD,AB与AH交于A
∴CD⊥平面ABH
∴CD⊥BH
同理BD⊥CH
∴在三角形BCD中H为垂心
∴BC⊥DH
又∵AH⊥BC,DH与AH交于H
∴BC⊥平面ADH
∴点A在面BCD上的射影H为△BCD的垂心
2.
AD*BC=(AC+CD)*(BA+AC)
=AC*BA+AC*AC+CD*BA+CD*AC
=AC*BA+AC*AC+CD*AC
=AC*(BA+AC+CD)
=AC*BD
=0
所以AD⊥BC