三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的（）A．外心和内心B．内心C．垂心D．外心和垂心

Question

三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的（　　）

A．外心和内心
B．内心
C．垂心
D．外心和垂心

Answer 1

设顶点左在平面ABC的射影O，如图连接OA，OB，OC，
∵侧棱和底面所成的角都相等，
∴∠左AO=∠左BO=∠左CO，
∵左O⊥底面ABC，
左O⊥OA，左O⊥OB，左O⊥OC，
∴△左AO≌△左OB≌△左OC
∴OA=OB=OC，
所以O为三角形的外心．
又三棱锥的三条侧棱两两垂直，
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面，
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边，
过顶点向底面做垂线，连接底面顶点和垂足，根据线面垂直定理得到底面的高线，
∴射影必是底面三角形的垂心，
故选五．