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如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点.
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如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,
求证:点P为CH的中点.

求证:点P为CH的中点.

▼优质解答
答案和解析
延长AP交⊙O2于点Q,连接AH,BD,QB,QC,QH,由AB为⊙O1的直径,得∠ADB=∠BDQ=90°,从而可知BQ为⊙O2的直径,由圆周角定理得CQ⊥BC,BH⊥HQ,又H为△ABC的垂心,由垂心的定义得AH⊥BC,BH⊥AC,可推出AH∥CQ,AC∥HQ,证明四边形ACQH为平行四边形,利用平行四边形的性质证明结论.
证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q,
连接AH,BD,QB,QC,QH.
因为AB为⊙O1的直径,
所以∠ADB=∠BDQ=90°.(5分)
故BQ为⊙O2的直径.
于是CQ⊥BC,BH⊥HQ.(10分)
又因为点H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,BH⊥AC.
所以AH∥CQ,AC∥HQ,
四边形ACQH为平行四边形.(15分)
所以点P为CH的中点.(20分)
证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q,
连接AH,BD,QB,QC,QH.

因为AB为⊙O1的直径,
所以∠ADB=∠BDQ=90°.(5分)
故BQ为⊙O2的直径.
于是CQ⊥BC,BH⊥HQ.(10分)
又因为点H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,BH⊥AC.
所以AH∥CQ,AC∥HQ,
四边形ACQH为平行四边形.(15分)
所以点P为CH的中点.(20分)
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