已知抛物线y=ax2-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求a，c及C点坐标；（2）如图①，连接AB，在抛物线上是否存在点P使△PAB的外接圆圆心在△PAB的边上？若存在，求

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已知抛物线y=ax²-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求a，c及C点坐标；
（2）如图①，连接AB，在抛物线上是否存在点P使△PAB的外接圆圆心在△PAB的边上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，连接AC，E为AC上任意一点（不与A，C重合），△AEO的外接圆交直线AB于点F，求△EOF面积的最小值及此时点E的坐标．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵抛物线y=ax²-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，
∴

9a−15a+c＝0

16a−20a+c＝1

解得：

a＝

c＝3

∴C（0，3）．

（2）存在，

①如图①，若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边PB上时，∠A=90°，
过点P作PM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴∠PAM=∠MPA，
∴△APM∽△BAN，
∵AN=BN=1，
∴PM=AM，
设P（m，

m²-

m+3），
由题意得：

m²-

m+3=3-m，
化简得：m²-3m=0，
解得：m=0，或m=3（舍去），
∴P（0，3）．

②若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边PA上时，∠B=90°，
过P作PH⊥NB于H，
∴△BPH∽△BAN，
∴PH=BH，
由题意得：

m²-

m+3-1=4-m，
化简得：m²-3m-4=0，
解得：m=-1，或m=4（舍去），
∴P（-1，6）．
③若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边AB上时，以AB为直径的圆与抛物线无异于A、B的交点．

（3）如图②：作EM⊥AO于M，
∵直线AC的解析式为：y=-x+3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=

OE×OF，
OE最小时S_△FEO最小，
∵OE⊥AC时OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直线CA上，
∴E点坐标为（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=

，
∴E点坐标为（

，