三角形abc的三个顶点在圆上,其中高ad,bf相交于h,ad的延长线交圆于e点,求证dh=de

Question

三角形abc的三个顶点在圆上,其中高ad,bf相交于h,ad的延长线交圆于e点,求证dh=de

Answer 1

连接BE ∴∠BED(∠BEA)=∠ACD(∠ACB) (同弧上的圆周角相等） ∵AD⊥BC,BF⊥AC ∴∠ADC=∠HDB=∠BDE=90°,∠BFC=90° 在△ADC和△BFC中 ∠ADC=∠BFC=90° ∠ACD=∠BCF(同角） ∴△ADC∽△BFC ∴∠CAD=∠CBF=∠DBH 在△BDE和△ADC中 ∠BDE=∠ABC=90° ∠BED=∠ACD ∴△BDE∽△ADC ∴∠DBE=∠CAD ∴∠DBH=∠DBE 在△DBH和△DBE中 ∠HDB=∠BDE=90° BD=BD ∠DBH=∠DBE ∴△DBH≌△DBE(AAS) ∴DH=DE