在三角形abc中,高ad、be、cf相交于垂心h,证明角edh＝角fdh.（如果h只是ad上的一点,bh］ch分别交ac、ab于e、f,那么原证明是否成立,请说明理由）［我大概可以看出来是用tanEDH和tanFDH相等来证明］

Question

在三角形abc中,高ad、be、cf相交于垂心h,证明角edh＝角fdh.（如果h只是ad上的一点
,bh］ch分别交ac、ab于e、f,那么原证明是否成立,请说明理由）［我大概可以看出来是用tanEDH和tanFDH相等来证明］

Answer 1

1.设AD、BE是三角形ABC的两个高线,AD、BE交于O点
延长直线CO,交AB于F点.
对A、B、D、E四点,由于角ADB=角AEB=90度,所以A、B、D、E四点共圆
因此,角ABE=角ADE
对C、D、O、E四点,由于角ADB=角AEB=90度,所以C、D、O、E四点共圆
因此,角ADE=角OCE
所以：角OCE=角ABE,所以：B、C、E、F四点共圆,
因此：角BFC=角BEC=90度
因此：CF为AB上的高线
所以：三角形ABC的三条高线AD,BE,CF共点.
2.)∵H是△ABC三条高AD,BE,CF的交点,
∴H,D,C,E四点与F,B,D,H四点与B,C,E,F四点分别共圆,
∴ ∠HDE=∠HCE= ∠HBF=∠HDF,HD平分角EDF,
同理HE,HF也是三角形DEF的内角平分线,
所以三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心.