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向量问题:.已知O为三角形ABC的外心,H为垂心,求证:向量OH=向量OA+向量OB+向量OC急
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向量问题:.已知O为三角形ABC的外心,H为垂心,求证:向量OH=向量OA+向量OB+向量OC
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答案和解析
注,以字母直接表示向量,如AH表示向量AH
由 AH*BC=0 得 AH*BC=(OH-OA)*BC=0
又(OB+OC)*BC=0 （显然中垂线垂直于边BC）
相减得 (OH-OA-OB-OC)*BC=0
同理得 (OH-OA-OB-OC)*AC=0
若(OH-OA-OB-OC)不为零向量,则其同时垂直于BC和AC,而BC和AC不互相平行,矛盾所以OH-OA-OB-OC必须为零向量即OH=OA+OB+OC
由 AH*BC=0 得 AH*BC=(OH-OA)*BC=0
又(OB+OC)*BC=0 （显然中垂线垂直于边BC）
相减得 (OH-OA-OB-OC)*BC=0
同理得 (OH-OA-OB-OC)*AC=0
若(OH-OA-OB-OC)不为零向量,则其同时垂直于BC和AC,而BC和AC不互相平行,矛盾所以OH-OA-OB-OC必须为零向量即OH=OA+OB+OC
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