O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH点E在AC上AE＝AO,求证：DE=AEO,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH,点E在AC上,AE＝AO,求证：DE＝AE请给详细过程及定理的内容

Question

O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH点E在AC上AE＝AO,求证：DE=AE
O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH,点E在AC上,AE＝AO,求证：DE＝AE
请给详细过程及定理的内容

Answer 1

以O为圆心,OA为半径作圆,延BH交AC于Q,延AH交BC于P. 方法1：延长BQ交圆O于N
因为角ANB=角ACB=角AHQ,所以AN=AH=AD,角HAQ=角NAQ
延长AO交圆O于F,所以角ABF=90度,所以角BAF=90度-角BFA,又角AFB=角ACP, 所以角BAF=90度-角ACP=角PAC
所以角DAE=角NAQ =2角CAP+角OAP
AO=AE（已知）
三角形AED全等于三角形AON（SAS）又AO=ON
所以AE=AO=ON=ED.
方法2：延长CO交圆O于M
所以角MBC=角MAC=90度,角BQA=角APB=90度
所以MA平行BQ,MB平行AP,
所以平行四边形MAHB,所以MB=AD
又角BMO=角DAE（圆周角）,MO=AO=AE
所以三角形MBO全等于三角形ADE（SAS）
所以AE=MO,ED=OB,又MO=OB,
所以AE=DE
所以三角形MBO全