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三棱锥内证明一点是垂心的问题三棱锥V-ABC的三条侧棱VAVBVC两两垂直,顶点V在底面内的射影是H求证H是三角形ABC的垂心
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三棱锥内证明一点是垂心的问题
三棱锥V-ABC的三条侧棱VA VB VC 两两垂直,顶点V在底面内的射影是H求证H是三角形ABC的垂心
三棱锥V-ABC的三条侧棱VA VB VC 两两垂直,顶点V在底面内的射影是H求证H是三角形ABC的垂心
▼优质解答
答案和解析
证明:连结AH交BC于D点,连接CH交AB于E点,
∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,
∴VA⊥VBC面,又BCVBC面,∴BC⊥VA.
∵VH⊥ABC面,BCABC面,
∴BC⊥VH,又VA∩VH=A,∴BC⊥VHA面.
又ADVHA面,∴AD⊥BC,同理可得CE⊥AB,
∴H是△ABC的垂心.
∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,
∴VA⊥VBC面,又BCVBC面,∴BC⊥VA.
∵VH⊥ABC面,BCABC面,
∴BC⊥VH,又VA∩VH=A,∴BC⊥VHA面.
又ADVHA面,∴AD⊥BC,同理可得CE⊥AB,
∴H是△ABC的垂心.
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