已知：⊙O的半径长为5，点A、B、C在⊙O上，AB=BC=6，点E在射线BC上．（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE=CE；（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．（3）当OE=115时，求

Question

已知：⊙O的半径长为5，点A、B、C在⊙O上，AB=BC=6，点E在射线BC上．
（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE=CE；
（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．
（3）当OE=(11)/(5)时，求线段AE的长．

Answer 1

（1）证明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，如图1，
∵AB=BC，
∴OF=OH，
∴BE平分∠ABC，
在△ABE和△CBE中

AB＝CB

∠ABE＝∠CBE

BE＝BE

，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
（2）作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，如图2，
∵OB=OC，
∴BM=CM=(1)/(2)BC=3，
在Rt△BMO中，OB=5，BM=3，
∴OM=√(OB2−BM2)=4，
∵(1)/(2)OM•BC=(1)/(2)CN•OB，
∴CN=(4×6)/(5)=(24)/(5)，
在Rt△OCN中，OC=5，
∴ON=√(OC2−CN2)=(7)/(5)，
∵CO=CD，
∴ON=DN，
∴BD=OB-2ON=5-2×(7)/(5)=(11)/(5)；
（3）作CN⊥BE于N，如图，
由（2）得CN=(24)/(5)，ON=(7)/(5)，
当E在OB的延长线上，NE=ON+OE=(7)/(5)+(11)/(5)=(18)/(5)，
在Rt△CEN中，CE=√(NE2+CN2)=√(((18)/(5))2+((24)/(5))2)=6；
当E在OB上，即OE′=(11)/(5)，NE′=OE′-ON=(11)/(5)-(7)/(5)=(4)/(5)，
在Rt△CE′N中，CE′=√(NE′2+CN2)=√(((4)/(5))2+((24)/(5))2)=(4√(37))/(5)，
∴CE的长为6或(4√(37))/(5)，
∵AE=CE，
∴AE的长为6或(4√(37))/(5)．