角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=-34；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=

Question

角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=-(3)/(4)；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=-2．对于下列结论：
①P（-(3)/(5)，-(4)/(5)）；
②|PQ|²=(10+2√(5))/(5)；
③cos∠POQ=-(3)/(5)；
④△POQ的面积为(√(5))/(5)，
其中正确结论的编号是（　　）

A．①②③④
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer 1

由题意，可设α、β为钝角，如图，由tanα=-(3)/(4)，得cot（(π)/(2)+α）=(3)/(4)，
可得 (π)/(2)+α∈（π，(3π)/(2)），∴cos（(π)/(2)+α）=-(3)/(5)，sin（(π)/(2)+α）=-(4)/(5)，
故 P（-(3)/(5)，-(4)/(5)），故①正确．
由tanβ=-2，可得sinβ=(2√(5))/(5)，cosβ=-(√(5))/(5)，
∴Q（-(√(5))/(5)，(2√(5))/(5)），∴|PQ|²=(−(√(5))/(5)+(3)/(5))2+((2√(5))/(5)+(4)/(5))2=(10+2√(5))/(5)，
故②正确．
对于③，cos∠POQ=cos（(π)/(2)+α-β）=-sin（α-β）
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-(3)/(5)×（-(√(5))/(5)）+（-(4)/(5)）×(2√(5))/(5)=-(√(5))/(5)，故命题③错误．
由③得：sin∠POQ=(2√(5))/(5)，∴△POQ的面积为 (1)/(2)•OP•OQ•sin∠POQ=(1)/(2)×1×1×(2√(5))/(5)=(√(5))/(5)，
故④正确．
∴正确的命题是①②④．
故选：D．