等比数列已知数列｛An｝的首项a1=2/3,An+1(1在角标位置）=2An/An+1(1是和An整体相加）,n=1,2,.（1）证明：数列｛1/An-1（1是前面的整体减1）｝是等比数列；（2）求数列｛n/An}的前n项和Sn.

Question

等比数列
已知数列｛An｝的首项a1=2/3,An+1(1在角标位置）=2An/An+1(1是和An整体相加）,n=1,2,.
（1）证明：数列｛1/An-1（1是前面的整体减1）｝是等比数列；
（2）求数列｛n/An}的前n项和Sn.

Answer 1

（1）证明：设1/An-1=Bn
Bn+1=1/A（n+1）-1=（1-A（n+1））/A（n+1）=1/2(1-An)/An=1/2Bn
所以1/An-1为等比数列.（PS：将An+1(1在角标位置）=2An/An+1代入即可）
（2）由题1求的Bn=（1/2)^n所以n/An=n（1/2）^n+n
Sn=(1+2+3+.+n)+(1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n)
=S1+S2 很显然S1=n(n+1)/2 求S2用错位相减法 即
S2=1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n①
1/2S2=1*(1/2)^2+.+(n-1)(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)②
①-②=1/2S2=1*1/2+(1/2)^2+.+(1/2)^n+n(1/2)^n+1=1-(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)
S2=2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)
Sn=S1+S2 =n(n+1)/2+2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)