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等比数列已知数列{An}的首项a1=2/3,An+1(1在角标位置)=2An/An+1(1是和An整体相加),n=1,2,.(1)证明:数列{1/An-1(1是前面的整体减1)}是等比数列;(2)求数列{n/An}的前n项和Sn.
题目详情
等比数列
已知数列{An}的首项a1=2/3,An+1(1在角标位置)=2An/An+1(1是和An整体相加),n=1,2,.
(1)证明:数列{1/An-1(1是前面的整体减1)}是等比数列;
(2)求数列{n/An}的前n项和Sn.
已知数列{An}的首项a1=2/3,An+1(1在角标位置)=2An/An+1(1是和An整体相加),n=1,2,.
(1)证明:数列{1/An-1(1是前面的整体减1)}是等比数列;
(2)求数列{n/An}的前n项和Sn.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:设1/An-1=Bn
Bn+1=1/A(n+1)-1=(1-A(n+1))/A(n+1)=1/2(1-An)/An=1/2Bn
所以1/An-1为等比数列.(PS:将An+1(1在角标位置)=2An/An+1代入即可)
(2)由题1求的Bn=(1/2)^n所以n/An=n(1/2)^n+n
Sn=(1+2+3+.+n)+(1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n)
=S1+S2 很显然S1=n(n+1)/2 求S2用错位相减法 即
S2=1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n①
1/2S2=1*(1/2)^2+.+(n-1)(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)②
①-②=1/2S2=1*1/2+(1/2)^2+.+(1/2)^n+n(1/2)^n+1=1-(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)
S2=2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)
Sn=S1+S2 =n(n+1)/2+2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)
Bn+1=1/A(n+1)-1=(1-A(n+1))/A(n+1)=1/2(1-An)/An=1/2Bn
所以1/An-1为等比数列.(PS:将An+1(1在角标位置)=2An/An+1代入即可)
(2)由题1求的Bn=(1/2)^n所以n/An=n(1/2)^n+n
Sn=(1+2+3+.+n)+(1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n)
=S1+S2 很显然S1=n(n+1)/2 求S2用错位相减法 即
S2=1*1/2+2*(1/2)^2+.+n(1/2)^n①
1/2S2=1*(1/2)^2+.+(n-1)(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)②
①-②=1/2S2=1*1/2+(1/2)^2+.+(1/2)^n+n(1/2)^n+1=1-(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)
S2=2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)
Sn=S1+S2 =n(n+1)/2+2+(n/2-1)(1/2)^(n-1)
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