正四面体A-BCD中，E为BC中点，F为直线BD上一点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．

Question

正四面体A-BCD中，E为BC中点，F为直线BD上一点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是___．

Answer 1

由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内，
则平面ACD与平面AEF所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面AEF所成角的余弦值，
问题等价于平面AEF绕AE转动，
当平面ACD与平面AEF所成角等于BK与AE夹角时，
平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，
此时该正弦值为cosα=(√(2))/(3)；
当平面AEF与BK平行时，所成角为0°，
此时正弦值为cos0°=1．
∴平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[(√(2))/(3)，1]．
故答案为：[(√(2))/(3)，1]．