如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．（1）求证：CE=CF；（2）当E为弧CG中点时，求证：BE2=CE•CB．

Question

如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．

（1）求证：CE=CF；
（2）当E为弧

CG

中点时，求证：BE²=CE•CB．

Answer 1

（1）证明：连接AE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACF，
∵AE=AC=AF，
∴∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE，
∠CAF=180°-∠ACF-∠AFC，
∴∠EAC=∠FAC，
∴

CE

=

CF

，
∴CE=CF；
（2） ∵E为弧

CG

中点，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AB=BC，AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE=AC，
∴△ABC∽△CAE，
∴(AC)/(BC)=(CE)/(AC)，
∴AC²=BC•CE，
即BE²=CE•CB．