（2014•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MB

Question

（2014•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=(1)/(2)，求EM：MF的值．

Answer 1

（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，

∠AEO=∠CFO

∠AOE=∠COF

OA=OC

，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）设OM=x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO=(1)/(2)，
∴BM=2x，
又∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠OBM，
∴△AOM∽△OBM，
∴(AM)/(OM)=(OM)/(BM)，
∴AM=(OM2)/(BM)=(1)/(2)x，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△BFM，
∴EM：FM=AM：BM=(1)/(2)x：2x=1：4．