如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Question

如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Answer 1

（1）证明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=(180°−∠D)/(2)，
同理，∠CGF=(180°−∠C)/(2)，
∴∠DGH+∠CGF=(360°−(∠D+∠C))/(2)，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是：(√(3))/(2)a²，
设BE=x，则AE=a-x，
则△AEH的面积是：(√(3)(a−x)2)/(4)，
△BEF的面积是：(√(3)x2)/(4)，
则矩形EFGH的面积y=(√(3))/(2)a²-(√(3)(a−x)2)/(2)-

√(作业帮用户2017-10-01问题解析（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．名师点评本题考点：菱形的性质；二次函数的最值；矩形的判定与性质．考点点评：本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)