如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直

Question

如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．

（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠PCH．
∵PH∥AD，
∴PH∥BC，
∴∠PCF=∠CPH．
在△PHC和△CFP中，

∠CPF=∠PCH

PC=CP

∠PCF=∠CPH

，
∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠B=90°．
又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
∵EF∥AB，
∴∠CPF=∠CAB．
在Rt△AGP中，∠AGP=90°，
PG=AG•tan∠CAB．
在Rt△CFP中，∠CFP=90°，
CF=PF•tan∠CPF．
S_矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；
S_矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．
∵tan∠CPF=tan∠CAB，
∴S_矩形DEPH=S_矩形PGBF．