如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）若BD=4cm，BE=23cm，求△ABC的周长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．

（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）若BD=4cm，BE=2√(3)cm，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ADC为等边三角形；
（2）∵DE是BC的垂直平分线，BD=4cm，BE=2√(3)cm，
∴BC=2BE=2×2√(3)=4√(3)cm，CD=BD=4cm，
∵AD=CD，
∴AD=CD=BD=4cm，
∴AB=2BD=2×4=8cm，
∵△ABC是直角三角形，∠B=30°，
∴AC=(1)/(2)AB=(1)/(2)×8=4cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+4+4√(3)=（12+4√(3)）cm．