如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=6，BC=14，CD=4，点P是边BC上的一点，连接AP，过点B作BE⊥AP，垂足为E．（1）当点P在边BC上移动时（点P不与点B重合），AE•AP的值是否发生变化？若不变，求出这个值；

Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=6，BC=14，CD=4，点P是边BC上的一点，连接AP，过点B作BE⊥AP，垂足为E．

（1）当点P在边BC上移动时（点P不与点B重合），AE•AP的值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，说明理由；
（2）当点P移动到BC的中点时，连接AC、BC，求证：∠PAC=∠PCE；
（3）点P在BC上移动，当以P、C、D为顶点的三角形与△PAB相似时，求PB的长．

Answer 1

（1） 结论：AE•AP的值不发生变化．AE•AP=36．
理由：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABP=∠AEB，∵∠BAE=∠BAP，
∴△ABE∽△APB，
∴(AB)/(AP)=(AE)/(AB)，
∴AE•AP=AB²=36．

（2）证明：∵∠BPA=∠BPE，∠PBA=∠PEB，
∴△PBE∽△PAB，
∴(PB)/(PA)=(PE)/(PB)，∵PB=PC，
∴PC²=PE•PA，
∴(PC)/(PE)=(PA)/(PC)，∵∠CPE=∠CPA，
∴△CPE∽△APC，
∴∠PCE=∠PAC．

（3）设PB=x则PC=14-x，
①若△PBA∽△PCD，
则有(PB)/(PC)=(AB)/(CD)，
∴(x)/(14-x)=(6)/(4)，
∴PB=x=(42)/(5)．
②若若△PBA∽△DCP，
则有(PB)/(DC)=(AB)/(CP)，
∴(x)/(4)=(6)/(14-x)，
∴x=2或12，
∴PB=2或12，
综上所述，PB=(42)/(5)或2或12．