如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE=CF．（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．（2）若∠BEC=90°，∠ABE=30°，AB=3，求ED的长．

Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE=CF．

（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．
（2）若∠BEC=90°，∠ABE=30°，AB=√(3)，求ED的长．

Answer 1

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDF=∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，
在Rt△BAE和Rt△CDF中，

AB=DC

BE=CF

，
∴Rt△BAE≌Rt△CDF，
∴∠1=∠F，
∴BE∥CF，
又∵BE=CF，
∴四边形EBCF是平行四边形．

（2） ∵Rt△BAE中，∠2=30°，AB=√(3)，
∴AE=AB•tan∠2=1，BE=(AB)/(cos∠2)=2，∠3=60°，
在Rt△BEC中，BC=(BE)/(cos∠3)=(2)/(cos60°)=4，
∴AD=BC=4，
∴ED=AD-AE=4-1=3．