已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a-c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求b的取值范围．

Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a-c
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为√(3)，求b的取值范围．

Answer 1

（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=(1)/(2)，
∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=(π)/(3)．-----（6分）
（2）∵S_△ABC=(1)/(2)acsinB=√(3)，B=(π)/(3)
∴(√(3))/(4)ac＝√(3)，解之得ac=4，----（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）
∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．----（12分）
综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）----（13分）