一道高数题设在f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,f(0)=0,f(1)=1,求证对于任意给定的正数a,b在（0,1）内存在不同的ξ,η,使a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b

Question

一道高数题
设在f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,f(0)=0,f(1)=1,求证对于任意给定的正数a,b在（0,1）内存在不同的 ξ,η ,使a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b

Answer 1

因为f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1
对任意正数a、b有 a/(a+b)∈(0,1)
由介值定理,存在c∈(0,1)使f(c)=a/(a+b)
对函数f(x)分别在[0,c]与[c,1]上应用拉格朗日中值定理
有 f'(ξ)=[a/(a+b)]/c与f'(η)=[1-a/(a+b)]/(1-c)=[b/(a+b)]/(1-c)
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