一道关于偶函数的练习题`已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},对定义域内的任意实数x1,x2.都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>01求证f(x)是偶函数2求证f(x)在（0,+∞）上是增函数

Question

一道关于偶函数的练习题`
已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},对定义域内的任意实数x1,x2.都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0
1 求证f(x)是偶函数
2 求证f(x)在（0,+∞）上是增函数

Answer 1

1> f(x)=f(1*x)=f(1)+f(x) ,
所以：f(1)=0 ,
f(1)=f((-1)*(-1))=f(-1)+f(-1)=0 ,
所以：f(-1)=0 ,
所以：f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x) .
2> 设01 ,
f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1) ,
因为：x2/x1>1,所以有：f(x2/x1)>0 ,
所以：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0 ,
所以：f(x2)>f(x1) ,
所以f(x)在（0,+∞）上是增函数
高中证明已有部分忘记,格式可能不规范,但思路应该没问题.