实变函数问题设mE〈＋∞,f是E上几乎处处有限的非负可测函数,证明对任意ε＞0,存在闭集FСE,使m（E-F）＜ε,而在F上,f（x）有界.

Question

实变函数问题
设mE〈＋∞,f是E上几乎处处有限的非负可测函数,证明对任意ε＞0,存在闭集FСE,使m（E-F）＜ε,而在F上,f（x）有界.

Answer 1

证明:因为E可测,设E0={x|f(x)=∞},则E\E0可测,且m(E0)=0.
所以任取e>0,存在闭集F包含于E\E0,使得m(E\E0\F)