（2013•海门市二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．①求证：△DEF∽△CEB；②设AP=

Question

（2013•海门市二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB；
②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3：16时，线段AP的长为多少？（直接写出答案，不必说明理由）．

Answer 1

（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°，
∵DE⊥CP，
∴∠DEP=∠DEC=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE，
∵∠ECB=∠DPE，
∴∠ECB=∠EDF，
∵∠DEC=90°，
∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB．

②∵△DEF∽△CEB，
∴(DF)/(CB)=(DE)/(CE)，
∵DF=y，BC=2，AP=x，AB=4，
∴(y)/(2)=(DE)/(CE)，DP=2-x，CD=4，
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易证△DPC∽△EDC，
∴(DE)/(CE)=(DP)/(DC)=(2−x)/(4)，
∴(y)/(2)=(2−x)/(4)，
∴y=-(1)/(2)x+1，
∴x的取值范围为0＜x＜2．

（2）AP长为-2+√(13)或2+√(13)或2+√(19)．