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(2013•河西区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A、C都不重合),点F在斜边AB上(点F与A、B都不重合).(Ⅰ)若EF平分Rt△ABC的周长,设AE=x,△AEF的面积为y,
题目详情

(Ⅰ)若EF平分Rt△ABC的周长,设AE=x,△AEF的面积为y,写出y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;
(Ⅱ)试问:是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12,又因EF平分三角形ABC的周长,
∴AE+AF=6,而AE=x,
∴AF=6-x
过点F作FD⊥AC于D
则
=sinA=
=
∴
=
∴DF=
(6−x)
所以y=
AE•DF=
x•
(6−x)=-
x2+
x(1<x<3)
(Ⅱ)这样的EF存在,
S△ABC=
BC•AC=
×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积,
所以-
x2+
x=3
解得:x=
∵1<x<3
∴x取
∴6-x=6-
=
∴三角形ABC的周长为12,又因EF平分三角形ABC的周长,
∴AE+AF=6,而AE=x,
∴AF=6-x
过点F作FD⊥AC于D
则
DF |
AF |
BC |
AB |
4 |
5 |
∴
DF |
6−x |
4 |
5 |
∴DF=
4 |
5 |
所以y=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
2 |
5 |
12 |
5 |
(Ⅱ)这样的EF存在,
S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵EF平分△ABC的面积,
所以-
2 |
5 |
12 |
5 |
解得:x=
6±
| ||
2 |
∵1<x<3
∴x取
6−
| ||
2 |
∴6-x=6-
6−
| ||
2 |
6+
|
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