如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+2OE．

Question

如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：

（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+√(2)OE．

Answer 1

证明：（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆，
∴∠OAE=∠OBE；

（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，
∴(BF)/(BE)=√(2)，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵(AB)/(BO)=√(2)，
∴(AB)/(BO)=(BF)/(BE)，
∴△ABF∽△BOE，
∴(AF)/(OE)=√(2)，
∴AF=√(2)OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+√(2)OE．