（1）如图，在等边△ABC中，N为ABC中，N为BC边上任意一点（不含B、C两点），CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线．若∠ANM=60°，求证：AN=NM．（2）如图，在等边△ABC中，N为BC延长线上任意一点

Question

（1）如图，在等边△ABC中，N为ABC中，N为BC边上任意一点（不含B、C两点），CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线．若∠ANM=60°，求证：AN=NM．
（2）如图，在等边△ABC中，N为BC延长线上任意一点，CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，若∠ANM=60°，请问AN=NM是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC．
∵CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，
∴∠ACM=(1)/(2)∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、N、C、M四点共圆，
∴∠CAM=∠MNC．
∵∠MNC+∠ANB=120°，∠ANB+∠NAB=120°，
∴∠NAB=∠MNC=∠MAC，
又∵AB=AC，∠B=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AM=AN，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=NM；
（2）AN=NM仍然成立，理由如下：
连接AM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC．
∵CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，
∴∠ACM=∠MCK=(1)/(2)∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、C、N、M四点共圆，
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠CAN=∠NAM+∠CAN，即∠BAN=∠CAM，
∵AB=AC，∠ABN=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AN=AM，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=NM．