已知：如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE=BF；（2）求线段DG的长．

Question

已知：如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．
（1）求证：AE=BF；
（2）求线段DG的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD、BD，
∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵DG是AB边的垂直平分线，
∴AD=DB，
在Rt△AED和Rt△DFB中，

ED＝DF

AD＝DB

，
∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），
∴AE=BF；

（2）由（1）得：CE=CF=(CA+CB)/(2)=7，∴AE=EC-AC=1，
∵∠ECD=∠EDC=45°，
∴DE=CE=7，
由题意可得：AG=BG=5，
∴AD²=AE²+DE²=50，
∴DG²=AD²-AG²=25，
∴DG=5．