已知函数FX=a^x+x^2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数当a=e,b=4时求整数k的值,使得函数fx在区间（k,k+1）上存在零点

Question

已知函数FX=a^x+x^2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数 当a=e,
b=4时求整数k的值,使得函数fx在区间（k,k+1）上存在零点

Answer 1

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（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna
由于a＞1,故当x∈（0,+∞）时,lna＞0,ax-1＞0,所以f'（x）＞0,
故函数f（x）在（0,+∞）上单调递增（4分）
（Ⅱ）当a＞0,a≠1时,因为f'（0）=0,且f'（x）在R上单调递增,
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x,f'（x）,f（x）的变化情况如表所示：
又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点,所以方程f（x）=t±1有三个根,
而t+1＞t-1,所以t-1=（f（x））min=f（0）=1,解得t=2（10分）．