关于特征值的二重根含义和如何应用的问题设矩阵A=[12-3]的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论是否可相似对角化.-14-31a5解：A的特征多项式为|λE-A|=（λ-2

Question

关于特征值的二重根含义和如何应用的问题
设矩阵A=[1 2 -3]的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论是否可相似对角化.
-1 4 -3
1 a 5
解：A的特征多项式为|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）
当λ=2是特征方程的二重根,则有2^2-8*2+18+3a=0,解得a=-2.
（略对角化检验）
若λ=2不是特征方程的二重根,则(λ^2-8λ+18+3a）为完全平方,从18+3a=16而,解得 a.
（略对角化检验）
我想问的是当λ=2是二重根的时候,为什么后面的式子就一定要等于零,另外二重根的意思是出现两个相同的λ值吗?
当λ=2是单根的时候,后面那个式子就要等于是完全平方呢?
对角化检验的意思我明白.

Answer 1

当λ=2是二重根的时候,后面的式子必有 (λ-2) 因子,故等于0.
二重根是指特征多项式 = (λ-2)^2 (λ-c) ,c≠2.
λ=2是单根的时候,后面的式子必须是 (λ-c)^2