复数难题,规定一个数集S（即由一些数组成的集合）,若对于数集S中任意两个元素x,y进行某一种运算（例如加法）后的结果仍然属于集合S,则称数集S关于这个运算封闭（1）证明：复数集关于

Question

复数难题,
规定一个数集S（即由一些数组成的集合）,若对于数集S中任意两个元素x,y进行某一种运算（例如加法）后的结果仍然属于集合S,则称数集S关于这个运算封闭
（1）证明：复数集关于除法封闭
（2）z表示整数集,定义S={x|x=a+（根号2）b,a,b属于整数},使判断数集S对于乘法和除法是否封闭?若是,则证明；若不是,举出反例

Answer 1

这题不难吧?
（1）
复数的定义为a+i*b,其中a,b实数
对于任意两个复数a+i*b和c+i*d,c,d不同时为0,否则除数为零无意义
a+i*b/(c+i*d)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+i*(bc-ad)/(c^2+d^2)
(ac+bd)/(c^2+d^2)和(bc-ad)/(c^2+d^2)仍为实数,即
(ac+bd)/(c^2+d^2)+i*(bc-ad)/(c^2+d^2)仍为复数,除法封闭
（2）
对乘法封闭,证法同前
除法不封闭,反例很多,如（1+√2）/(2+√2)=(√2)/2,1/2不是整数