如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD．（1）试说明：△ABC∽△DBA；（2）若BD＝32，AB＝26，求BC的长；（3）若ADBC＝13，求∠C的度数．

Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD．
（1）试说明：△ABC∽△DBA；
（2）若BD＝3√(2)，AB＝2√(6)，求BC的长；
（3）若(AD)/(BC)＝(1)/(3)，求∠C的度数．

Answer 1

（1）∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠C=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴(BC)/(AB)＝(AB)/(DB)，
即(BC)/(2√(6))＝(2√(6))/(3√(2))，
∴BC＝4√(2)；

（3）设AD=a，则BC=3a，BD=a，
作AH⊥BC于点H，则H为BC的中点，
∴DH=BH-BD=(3)/(2)a−a＝(1)/(2)a，
在Rt△ADH中，cos∠ADH＝(DH)/(AD)＝((1)/(2)a)/(a)＝(1)/(2)，
∴∠ADH=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°．