已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、…、Sn2…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．（1）求

Question

已知S _n 是正数数列{a _n }的前n项和，S ₁ ² ，S ₂ ² 、…、S _n ² …，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b _n }为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．（1）求a _n 、b _n ；（2）从数列{ (1)/(bn) }中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于 (1)/(S26) ．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比？若不能的话，请说明理由．

Answer 1

（1）{S _n ² }是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S _n ² =3+（n-1）=n+2
因为a _n ＞0，所以S _n =

n+2

（n∈N）（2分）
当n≥2时，a _n =S _n -S _n-1 =

n+2

-

n+1

又a ₁ =S ₁ =

3

，所以a _n =

3

                   n=1

n+2

-

n+1

   n＞1

（n∈N） （4分）
设{b _n }的首项为b ₁ ，公比为q，则有

b 1 q+ b 1 q 3 =90

b 1 + b 1 q 2 =30

（6分）
所以

b 1 =3

q=3

，所以b _n =3 ⁿ （n∈N）（8分）
（2） (1)/(bn) =（ (1)/(3) ） ⁿ ，设可以挑出一个无穷等比数列{c _n }，首项为c ₁ =（ (1)/(3) ） ^p ，公比为（ (1)/(3) ） ^k ，（p、k∈N），它的各项和等于 (1)/(S26) = (1)/(8) ，（10分）
则有 (((1)/(3))p)/(1- ((1)/(3))k) =(1)/(8) ，所以（ (1)/(3) ） ^p = (1)/(8) [1-（ (1)/(3) ） ^k ]，（12分）
当p≥k时3 ^p -3 ^p-k =8，即3 ^p-k （3 ^k -1）=8，因为p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{c _n }的各项和为 (1)/(S26) ． （14分）
当p＜k时，3 ^k -1=8.3 ^k-p ，因为k＞p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比数列{c _n }，首项为 (1)/(9) ，公比为 (1)/(9) ，使它的各项和等于 (1)/(S26) ．（16分）