已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[12an•（S4m+1）]=9，则1n+4m的最小值是．

Question

已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，若log₃[(1)/(2)a_n•（S_4m+1）]=9，则(1)/(n)+(4)/(m)的最小值是______．

Answer 1

∵等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，
∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[(1)/(2)a_n•（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴(1)/(n)+(4)/(m)=(1)/(10)（n+4m）（(1)/(n)+(4)/(m)）=(1)/(10)（17+(4n)/(m)+(4m)/(n)）≥(1)/(10)（17+8）=2.5
当且仅当m=n=2时取等号，
∴(1)/(n)+(4)/(m)的最小值是2.5．
故答案为：2.5．