已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，an+1=2Sn+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an+1，求数列{bnan}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+1，求数列{(bn)/(an)}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）由a_n+1=2S_n+1，
得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
故a_n+1=3a_n（n≥2），
所以当n≥2时，{a_n}是以3 为公比的等比数列．
因为a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，∴(a2)/(a1)=3．
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，a_n=3^n-1．
（2）证明：由（1）知a_n=3^n-1，故b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
∴(bn)/(an)=(n)/(3n-1)．
T_n=1+2×(1)/(3)+3×((1)/(3))2+4×((1)/(3))3+…+n×((1)/(3))n-1，①
(1)/(3)T_n=1×(1)/(3)+2×((1)/(3))2+3×((1)/(3))3+…+（n-1）×((1)/(3))n-1+n×((1)/(3))n．②
①-②，得(2)/(3)T_n=1+(1)/(3)+((1)/(3))2+…+((1)/(3))n-1-n×((1)/(3))n=(1-((1)/(3))n)/(1-(1)/(3))-n×((1)/(3))n，
∴T_n=(9)/(4)-(2n+3)/(4)×((1)/(3))n-1．